Bước 1 — Dựng hệ điều kiện thuộc đồ thị.
Gọi $B=(x_B; y_B)$ thuộc đồ thị nên $y_B=\log_{3}(5x-3)$, tức $3^{y_B}=5x_B-3$.
Vì $A$ là trung điểm $OB$ ($O$ là gốc toạ độ) nên $A=\left(\dfrac{x_B}{2};\dfrac{y_B}{2}\right)$ cũng thuộc đồ thị: $3^{y_B/2}=5\cdot\dfrac{x_B}{2}-3$.
Bước 2 — Đặt ẩn phụ.
Đặt $t=3^{y_B/2}>0$ thì $3^{y_B}=t^2$. Hệ trở thành
$t^2=5x_B- 3$ và $2t=5x_B- 6$.
Trừ hai vế: $t^2-2t- 3=0$ $\Rightarrow t=3$ (nghiệm dương).
Bước 3 — Tìm toạ độ $B$.
$y_B=2\log_{3} t=2\log_{3}3=2$ và $x_B=\dfrac{t^2 + 3}{5}=\dfrac{12}{5}$.
Vậy $B=\left(\dfrac{12}{5};2\right)$, $A=\left(\dfrac{6}{5};1\right)$.
Bước 4 — Tính độ dài $AB$.
Vì $A$ là trung điểm $OB$ nên $AB=\dfrac{OB}{2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{x_B^2+y_B^2}$.
Thay số: $AB=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{144}{25}+4}=\dfrac{\sqrt{61}}{5}$.
Suy ra $a=61$, $b=5$.
Kết luận: $a\cdot b=61\cdot5=305$.