Một quả cầu đường kính $ 16 $ cm được treo nép vào góc giữa hai bức tường vuông góc và tiếp xúc cả hai tường. Người ta buộc một sợi dây $AB$ vào điểm $B$ trên cạnh góc tường ở độ cao $h = 43$ cm so với sàn, sao cho dây $AB$ ngắn nhất (tức $AB$ bằng khoảng cách ngắn nhất từ $B$ tới mặt cầu). Biết điểm thấp nhất của quả cầu cách sàn $ 4 $ cm. Tính chiều dài dây $AB$ (cm).
ĐÁP ÁN
2
5
LỜI GIẢI
Bước 1 — Bán kính và tâm.
Đường kính $ 16 $ cm ⇒ bán kính $r = 8$ cm.
Chọn hệ trục $Oxyz$ với gốc $O$ ở mép góc tường, sàn nhà là mặt phẳng $(Oxy)$, hai bức tường là $(Oxz)$ và $(Oyz)$ (đơn vị: cm). Quả cầu bán kính $r$ tiếp xúc cả hai tường nên tâm cách mỗi tường một khoảng $r$, suy ra $I(r;\, r;\, z_I)$. Điểm thấp nhất của quả cầu cách sàn $4$ cm nên $z_I - r = 4 \Rightarrow z_I = r + 4$.
Bước 2 — Khoảng cách điểm treo tới tâm.
Tâm $I(8;\, 8;\, 12)$ và điểm treo $B(0;\, 0;\, 43)$ nên
$|IB| = \sqrt{8^2 + 8^2 + (12 - 43)^2} = \sqrt{128 + 961} = \sqrt{1089} = 33$ cm.
Bước 3 — Dây ngắn nhất.
$AB = |IB| - r = 33 - 8 = 25$ cm.
Kết luận: $AB = 25$ cm.
65% trả lời đúng
211 đúng · 116 sai