Đạo hàm chi phí: $C'(x) = 1 - \dfrac{8}{x^2} - \dfrac{1}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$.
Cho $C'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 - x - 8 = 0$. Phương trình này KHÔNG có nghiệm hữu tỉ (nghiệm là số vô tỉ), nên không lấy được mức tối ưu dưới dạng số nguyên hay phân số đẹp ⇒ ta xét DẤU của $C'$ tại hai mốc nguyên liên tiếp để định khoảng.
Tính: $C'(3) = -\dfrac{2}{9} < 0$ và $C'(4) = \dfrac{1}{4} > 0$. Vì $C'$ liên tục trên $(3; 4)$ và đổi dấu, theo định lí giá trị trung gian tồn tại $x_0 \in (3; 4)$ sao cho $C'(x_0) = 0$.
$C'$ đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ vượt qua $x_0$ ⇒ $x_0$ là điểm cực tiểu, tại đó chi phí $C$ nhỏ nhất. Vậy mức tối ưu nằm trong khoảng $(3; 4)$ — KHÔNG phải số nguyên $x = 3$ hay $x = 4$, và đây là nghiệm của $C'(x)=0$ chứ không phải $C(x)=0$.