Bài toán tối ưu: hình chữ nhật chu vi $P$ → diện tích max khi nào?

Bước 1 — Mô hình hoá bài toán.
Đặt 2 cạnh hình chữ nhật là $a$ và $b$. Chu vi $2(a + b) = P$ ⇒ $b = P/2 - a$.
Diện tích $S = a \cdot b$ phụ thuộc 1 ẩn $a$.

Bước 2 — Lập biểu thức $S$ theo $a$.
$S(a) = a \cdot \left(\dfrac{100}{2} - a\right) = -a^2 + \dfrac{100}{2}a$, với $0 < a < \dfrac{100}{2}$.

Bước 3 — Tìm cực đại của $S$.
$S$ là tam thức bậc 2 hệ số đầu $-1 < 0$ ⇒ parabol "mở xuống", đạt max tại đỉnh.
$a_{đỉnh} = -\dfrac{P/2}{2 \cdot (-1)} = \dfrac{P}{4} = 25$ ⇒ hình vuông.

Bước 4 — Tính $S_{\max}$.
$S_{\max} = 25 \cdot 25 = 625$.

Kết luận: Diện tích lớn nhất $= 625$ (hình vuông cạnh $25$).