Bước 1 — Ba công thức khoảng cách cần dùng.
• Điểm tới mặt phẳng: $d(M,(P)) = \dfrac{|a x_M + b y_M + c z_M + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
• Điểm tới đường thẳng (qua $Q_0$, VTCP $\vec u$): $d(M,\Delta) = \dfrac{|\overrightarrow{MQ_0} \times \vec u|}{|\vec u|}$.
• Điểm tới điểm: $d(M,N) = |\overrightarrow{MN}|$.
Bước 2 — Tính $d(M,(P))$.
$|3\cdot5 + 12 + 0 + 1| = 28$, $\sqrt{25}$.
$d(M,(P)) = \dfrac{28}{\sqrt{25}} = \dfrac{28}{5} \approx 5.600$.
Bước 3 — Tính $d(M,\Delta)$.
$\overrightarrow{MQ_0} = (-8; -1; -4)$, $\vec u = (0; 1; 1)$.
$\overrightarrow{MQ_0} \times \vec u = (3; 8; -8)$, $|\vec u| = \sqrt{2}$.
$d(M,\Delta) = \dfrac{\sqrt{137}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{274}}{2} \approx 8.276$.
Bước 4 — Tính $d(M,N)$.
$\overrightarrow{MN} = (2; 1; -2)$ $\Rightarrow d(M,N) = \sqrt{9} = 3 \approx 3.000$.
Bước 5 — Sắp thứ tự và đối chiếu.
So sánh: $d(M,\Delta) > d(M,(P)) > d(M,N)$.
Khoảng cách lớn nhất là $d(M,\Delta)$, nhỏ nhất là $d(M,N)$. Các phương án đảo chiều, ‘$d(M,\Delta)=d(M,N)$’ (nhầm chân đường vuông góc rơi vào $N$), hay ‘ba khoảng cách bằng nhau’ đều SAI.
Kết luận: $d(M,\Delta) > d(M,(P)) > d(M,N)$.