Cho phương trình $x^2 + (-2 - 2i)x + (1 + 2i) = 0$ với hệ số phức trên $\mathbb{C}$ (gọi $z_1,\ z_2$ là hai nghiệm). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
A)
$z_1 = 1 + 2i$ là một nghiệm của phương trình.
Đúng
B)
Phương trình bậc hai hệ số phức này có thể VÔ NGHIỆM trên $\mathbb{C}$.
Sai
C)
Hai nghiệm có cùng mô-đun: $|z_1| = |z_2|$.
Sai
D)
Tích hai nghiệm $z_1 z_2 = \dfrac{c}{a} = 1 + 2i$.
Đúng
LỜI GIẢI
A) Đúng. Thay $z_1=1 + 2i$ vào: theo cách dựng $(x-z_1)(x-z_2)=0$, hiển nhiên $x=z_1$ làm vế trái bằng 0. Kiểm tra Vi-ét cũng nhất quán: $z_1+z_2=2 + 2i,\ z_1 z_2=1 + 2i$.
B) Sai. SAI. Theo định lý cơ bản của đại số, mọi đa thức bậc $n\geq 1$ với hệ số phức luôn có đủ $n$ nghiệm phức (kể cả bội). Phương trình bậc hai luôn có đúng 2 nghiệm trên $\mathbb{C}$, cụ thể $z_1=1 + 2i,\ z_2=1$.
C) Sai. SAI. Hai số liên hợp mới chắc chắn cùng mô-đun; ở đây chúng KHÔNG liên hợp nên nói chung mô-đun khác nhau: $|z_1|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$ còn $|z_2|=\sqrt{1^2+0^2}=1$ — rõ ràng khác nhau.
D) Đúng. Vi-ét: $z_1 z_2 = c/a$. Ở đây $a=1,\ c=1 + 2i$, và trực tiếp $(1 + 2i)(1) = (1)(1) - (2)(0) + [(1)(0)+ 2]i = 1 + 2i$.
70% trả lời đúng
278 đúng · 119 sai