Luyện tập →
Câu hỏi › Lớp 12 › Phương pháp toạ độ trong không gian › Phương trình đường thẳng

Bẫy song song. Hai thanh dầm mái nhà $d_1\parallel d_2$; máng nước ở mép

Lớp 12 · Phương trình đường thẳng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, hai thanh dầm của một mái nhà được biểu diễn bởi hai đường thẳng $d_1:\ \begin{cases} x = 2 - 3t_1 \\ y = -1 + 3t_1 \\ z = 0 + 3t_1 \end{cases} (t_1 \in \mathbb{R})$ và $d_2:\ \begin{cases} x = 0 + 6t_2 \\ y = -3 - 6t_2 \\ z = 3 - 6t_2 \end{cases} (t_2 \in \mathbb{R})$. Một máng nước nằm ở mép của mái nhà và vuông góc với hai thanh dầm này được biểu diễn bởi đường thẳng có vectơ chỉ phương có tọa độ là $(a; b; 6)$. Tính giá trị của biểu thức $T = 7a + 5b$.
ĐÁP ÁN
- 6 6
LỜI GIẢI

Bước 1 — Hai dầm song song nên không dùng được $\vec u_1\times\vec u_2$.
$\vec u_1 = (-3; 3; 3),\ \vec u_2 = (6; -6; -6) = -2\,\vec u_1$ ⇒ $d_1 \parallel d_2$, nên $\vec u_1\times\vec u_2 = \vec 0$ (vô dụng). Phải dùng cách khác.

Bước 2 — Pháp tuyến mặt phẳng mái.
Lấy $M(2; -1; 0) \in d_1$, $N(0; -3; 3) \in d_2$ ⇒ $\overrightarrow{MN} = (-2; -2; 3)$.
Pháp tuyến mặt phẳng chứa hai dầm: $\vec n = \vec u_1 \times \overrightarrow{MN}$:
$n_1 = \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = 15,\ n_2 = \begin{vmatrix} 3 & -3 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = 3,\ n_3 = \begin{vmatrix} -3 & 3 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} = 12$, tức $\vec n = (15; 3; 12)$.

Bước 3 — Phương máng nước (⊥ dầm và nằm trong mặt phẳng mái).
$\vec w = \vec n \times \vec u_1 = (-27; -81; 54)$, rút gọn $\vec w \parallel (-1; -3; 2)$.
Nhân $k = \dfrac{6}{2} = 3$ để thành phần $z$ bằng $6$: $(a; b; 6) = (-3; -9; 6)$.

Kết luận: $T = 7a + 5b = 7\cdot(-3) + 5\cdot(-9) = -66$.

71% trả lời đúng 427 đúng · 176 sai
← Tìm câu hỏi khác