Biến thể $\cos$: $f'(x)=A\cos^2 x + B$, $f(0)=c$ → $\int_0^L f(x)\,dx$.

Bước 1 — Hạ bậc.
$\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$ nên
$f'(x) = 8\cdot\dfrac{1+\cos 2x}{2} + 2 = 6 + 4\cos 2x$.

Bước 2 — Tìm $f(x)$.
$f(x) = 6\,x + 2\sin 2x + C$.
Vì $f(0) = 5$ và $\sin 0 = 0$ nên $C = 5$, suy ra $f(x) = 6\,x + 2\sin 2x + 5$.

Bước 3 — Tính tích phân.
$\displaystyle\int_0^{\dfrac{\pi}{4}} f(x)\,dx = \left[6\cdot\dfrac{x^2}{2} - 2\cdot\dfrac{\cos 2x}{2} + 5x\right]_0^{\dfrac{\pi}{4}} = 1 + \dfrac{3 \pi^{2}}{16} + \dfrac{5 \pi}{4}$.

Kết luận: $\displaystyle\int_0^{\dfrac{\pi}{4}} f(x)\,dx \approx 6,78$.