Xếp ngẫu nhiên 11 quyển sách phân biệt gồm 2 quyển sách loại Toán, 4 quyển sách loại Lí và 5 quyển sách loại Hoá thành một hàng ngang (mỗi cách xếp là một hoán vị của 11 quyển sách phân biệt). Gọi xác suất để không có hai quyển sách cùng loại nào đứng liền kề nhau là $P=\dfrac{q}{p}$ (phân số tối giản). Tính $p+q$.
ĐÁP ÁN
1
5
7
LỜI GIẢI
Bước 1 — Không gian mẫu.
Số cách xếp 11 phần tử phân biệt thành hàng là $n!=11!=39916800$.
Bước 2 — Đếm số cách thuận lợi (không hai cùng loại liền kề).
Số dãy NHÃN không hai nhãn giống nhau liền kề tính bằng công thức gộp khối (bù trừ):
$$N=\sum_{i,j,k\ge 1}(-1)^{(a-i)+(b-j)+(c-k)}\binom{a-1}{i-1}\binom{b-1}{j-1}\binom{c-1}{k-1}\frac{(i+j+k)!}{i!\,j!\,k!}=135.$$
Do các phần tử cùng loại phân biệt, số cách thuận lợi là
$N\times 2!\times 4!\times 5! = 135\times 2\times 24\times 120 = 777600.$
Bước 3 — Lập xác suất rồi tối giản.
$P=\dfrac{777600}{39916800}=\dfrac{3}{154}$, suy ra $q=3$, $p=154$.
Bước 4 — Kết quả.
$p+q=154+3=157$.
Kết luận: $157$.
62% trả lời đúng
451 đúng · 271 sai