Biết $\int_{-1}^{1}|e^x - 1|\,dx = a\,e + b\,e^{-1} + c$ ($a,b,c\in\mathbb{Z}$),

Bước 1 — Phá trị tuyệt đối.
Xét dấu $e^x - 1$: $e^x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in [-1; 1]$.
Trên $[-1; 0]$: $e^x < 1 \Rightarrow |e^x - 1| = 1 - e^x$.
Trên $[0; 1]$: $e^x > 1 \Rightarrow |e^x - 1| = e^x - 1$.

Bước 2 — Tách tích phân theo hai miền.
$I = \displaystyle\int_{-1}^{0} (1 - e^x)\,dx + \int_{0}^{1} (e^x - 1)\,dx$.
$\displaystyle\int_{-1}^{0}(1 - e^x)\,dx = \big(x - e^x\big)\Big|_{-1}^{0} = (0 - 1) - (-1 - e^{-1}) = e^{-1}$.
$\displaystyle\int_{0}^{1}(e^x - 1)\,dx = \big(e^x - x\big)\Big|_{0}^{1} = (e - 1) - (1 - 0) = e - 2$.

Bước 3 — Cộng lại và đọc hệ số.
$I = e^{-1} + (e - 2) = e + e^{-1} - 2$.
So với $a\,e + b\,e^{-1} + c$ ⇒ $a = 1,\ b = 1,\ c = -2$.

Kết luận: $T = a \cdot b \cdot c = -2$.