Bước 1 — Đọc bán kính và xác định chiều cao chỏm nước.
Từ $(S): (x - 6)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2 = 25$ ⇒ tâm $I(6; 3; 4)$, bán kính $R = 5$ (dm).
Điểm thấp nhất (đáy) của mặt cầu ở $z = z_I - R = 4 - 5 = -1$. Mặt nước $z = 1$ nằm ngang cắt $(S)$.
Chiều cao cột nước (chỏm cầu) tính từ đáy lên mặt nước:
$t = 1 + 1 = 2$ (dm), thoả $0 < t < 2R = 10$.
Bước 2 — Công thức thể tích chỏm cầu.
Phần nước phía dưới mặt phẳng cắt là một CHỎM CẦU của mặt cầu bán kính $R$, chiều cao $t$. Thể tích chỏm cầu:
$V_{\text{chỏm}} = \pi t^2\left(R - \dfrac{t}{3}\right) = \dfrac{\pi t^2(3R - t)}{3}$
(kết quả chuẩn, suy từ tích phân quay $\int$ tiết diện tròn theo trục thẳng đứng).
Bước 3 — Thay số.
$V_{\text{chỏm}} = \dfrac{\pi \cdot 2^2 (3\cdot 5 - 2)}{3} = \dfrac{\pi \cdot 4 \cdot 13}{3} = \dfrac{52\pi}{3} = \dfrac{52}{3}\pi$ $(dm^3)$.
Bước 4 — Phần rỗng = thể tích cầu trừ chỏm nước.
$V_{\text{cầu}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 5^3 = \dfrac{500}{3}\pi$.
$V_{\text{rỗng}} = \dfrac{500}{3}\pi - \dfrac{52}{3}\pi = \dfrac{448}{3}\pi$ $(dm^3)$.
Kết luận: thể tích cần tìm $= \dfrac{448}{3}\pi$ $dm^3$.