Một chậu hình nón cụt có bán kính đáy nhỏ $r_1 = 1$ dm, bán kính miệng $r_2 = 3$ dm và chiều cao $H = 6$ dm (đặt thẳng đứng, đáy nhỏ ở dưới). Dưới đáy chậu có một viên bi hình cầu đường kính $2$ dm. Người ta đổ nước vào chậu với lưu lượng không đổi $Q = 3\pi$ dm³/giây. Tại thời điểm mực nước cao $h = 3$ dm (bằng $\dfrac{3}{2}$ đường kính viên bi), hãy tính tốc độ dâng của mực nước $\dfrac{dh}{dt}$ (dm/giây).
ĐÁP ÁN
2
LỜI GIẢI
Bán kính mặt nước tại độ cao $h$: $r(h) = r_1 + \dfrac{r_2 - r_1}{H}\,h = 1 + \dfrac{2}{6}\cdot3 = 2$ dm.
Thể tích nước tăng theo $h$ với tốc độ $\dfrac{dV}{dh} = \pi r(h)^2 - \pi\big(R^2 - (h-R)^2\big)$, trong đó số hạng sau là diện tích mặt cắt ngang của viên bi (bán kính $R = 1$) tại độ cao $h$. Tính: $R^2 - (h-R)^2 = 1 - (3 - 1)^2 = -3$.
$\dfrac{dV}{dh} = \pi\big(4 + 3\big) = 7\pi$ dm². Vì $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dh}\cdot\dfrac{dh}{dt} = Q$ nên $\dfrac{dh}{dt} = \dfrac{Q}{dV/dh} = \dfrac{3\pi}{7\pi} = 2$ dm/giây. Kết luận: $\dfrac{dh}{dt} = 2$.
60% trả lời đúng
338 đúng · 228 sai