Một chậu nước có lòng chậu là hình nón cụt, đáy nhỏ bán kính $2$ dm, miệng chậu bán kính $4$ dm, chiều cao lòng chậu $4$ dm (đặt thẳng đứng, đáy nhỏ ở dưới). Trong chậu có sẵn một viên bi sắt đường kính $4$ dm đặt ở đáy. Người ta đổ nước vào chậu với lưu lượng không đổi $1,5$ dm³/s. Hỏi tại thời điểm mực nước đạt độ cao bằng $\dfrac{1}{4}$ đường kính viên bi, tốc độ tăng chiều cao mực nước là bao nhiêu (dm/s)? (Làm tròn đến hàng phần trăm)
ĐÁP ÁN
0
,
1
5
LỜI GIẢI
Mực nước cao $h = \dfrac{1}{4}\cdot4 = 1$ dm. Bán kính mặt nước tại độ cao $h$: $r(h) = r_1 + \dfrac{r_2 - r_1}{H}\,h = 2 + \dfrac{2}{4}\cdot1 = 2,5$ dm.
Tốc độ tăng thể tích theo $h$: $\dfrac{dV}{dh} = \pi r(h)^2 - \pi\big(R^2 - (h-R)^2\big)$, trong đó số hạng sau là diện tích mặt cắt ngang của viên bi (bán kính $R = 2$) tại độ cao $h$. Tính: $R^2 - (h-R)^2 = 4 - (1 - 2)^2 = 3$.
$\dfrac{dV}{dh} = \pi\big(6,25 - 3\big) = 3,25\pi$ dm². Vì lưu lượng $\dfrac{dV}{dt} = 1,5$ dm³/s là một SỐ (không chứa $\pi$) nên $\pi$ KHÔNG triệt tiêu: $\dfrac{dh}{dt} = \dfrac{dV/dt}{dV/dh} = \dfrac{1,5}{3,25\pi} \approx 0,15$ dm/s. Kết luận: $\dfrac{dh}{dt} = 0,15$ dm/s.
61% trả lời đúng
214 đúng · 138 sai