Cho phương trình $\sin x + \cos x = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
A)
$\sin x + \cos x = 2$ có nghiệm.
Sai
B)
Phương trình có nghiệm khi $|2| \leq \sqrt{2}$.
Đúng
C)
$\sin x + \cos x \leq \sqrt{2}$ với mọi $x$.
Đúng
D)
Có thể đặt $t = \tan(x/2)$ để giải $\sin x + \cos x = 2$.
Đúng
LỜI GIẢI
A) Sai. Sai — vì $\sin x + \cos x \leq \sqrt{2} \approx 1{,}414 < 2$ với mọi $x$, nên phương trình $\sin x + \cos x = 2$ vô nghiệm (vượt biên độ).
B) Đúng. Vì $\sqrt{2}\sin(x + \pi/4) \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$, nên phương trình $\sqrt{2}\sin(x + \pi/4) = 2$ có nghiệm khi $|2| \leq \sqrt{2}$ — đây cũng là điều kiện chuẩn $|c| \leq \sqrt{a^2+b^2}$.
C) Đúng. Vì $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \pi/4)$ và $\sin(\cdot) \leq 1$, nên $\sin x + \cos x \leq \sqrt{2}$ với mọi $x$ (dấu = đạt khi $x = \pi/4 + k 2\pi$).
D) Đúng. Phương pháp ẩn phụ Weierstrass: đặt $t = \tan(x/2)$ thì $\sin x = \dfrac{2t}{1+t^2}$, $\cos x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$, đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số theo $t$.
77% trả lời đúng
170 đúng · 50 sai