Cho $f'(x)=A\sin^2 x + B$, $f(0)=c$. Tìm $f$ rồi tính $\int_0^L f(x)\,dx$.

Bước 1 — Hạ bậc.
$\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$ nên
$f'(x) = 8\cdot\dfrac{1-\cos 2x}{2} + 2 = 6 - 4\cos 2x$.

Bước 2 — Tìm $f(x)$.
$f(x) = \int f'(x)\,dx = 6\,x - 2\sin 2x + C$.
Vì $f(0) = 3$ và $\sin 0 = 0$ nên $C = 3$, suy ra $f(x) = 6\,x - 2\sin 2x + 3$.

Bước 3 — Tính tích phân.
$\displaystyle\int_0^{\dfrac{\pi}{2}} f(x)\,dx = \left[6\cdot\dfrac{x^2}{2} + 2\cdot\dfrac{\cos 2x}{2} + 3x\right]_0^{\dfrac{\pi}{2}} = -2 + \dfrac{3 \pi}{2} + \dfrac{3 \pi^{2}}{4}$.

Kết luận: $\displaystyle\int_0^{\dfrac{\pi}{2}} f(x)\,dx \approx 10,1$.