Bước 1 — Bình phương tổng để lấy $\sin\alpha\cos\alpha$.
Từ $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha$ và hệ thức cơ bản $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 1$, suy ra:
$(\sin\alpha+\cos\alpha)^2 = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha.$
Bước 2 — Thay số, rút $\sin\alpha\cos\alpha$: $\left(\dfrac{49}{41}\right)^2 = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha \Rightarrow \dfrac{2401}{1681} = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha \Rightarrow \sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{360}{1681}.$
Bước 3 — Phân tích tổng hai lập phương.
$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = (\sin\alpha+\cos\alpha)\big(\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha\big) = (\sin\alpha+\cos\alpha)\big(1 - \sin\alpha\cos\alpha\big).$
Bước 4 — Thay số: $\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \dfrac{49}{41}\left(1 - \dfrac{360}{1681}\right) = \dfrac{64729}{68921}.$
Kết luận: $\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \dfrac{64729}{68921}.$