Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2; 1; -1)$, $B(3; 0; 1)$, $C(2; -1; 3)$ và mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 4z + 5 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
A)
Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng $\sqrt{6}$.
Đúng
B)
Mặt phẳng $(ABC)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$.
Sai
C)
Điểm $M$ di động trên mặt cầu $(S)$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = MA^2 + 2MB^2 - MC^2$ bằng $26 + 8 \sqrt{14}$.
Đúng
D)
Tồn tại điểm $M$ trên $(S)$ để $P = MA^2 + 2MB^2 - MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất $\vec a\cdot\vec{OI}+b-R|\vec a|$.
Đúng
LỜI GIẢI
A) Đúng. $\overrightarrow{AB}=B-A$, $|AB|=\sqrt{(B-A)\cdot(B-A)}=\sqrt{6}$.
B) Sai. $d(I,(ABC))=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ và $R=2$ ⇒ $d\neq R$ nên KHÔNG tiếp xúc.
C) Đúng. Đưa $P$ về dạng tuyến tính theo $M$ trên $(S)$: $P=\vec a\cdot\vec{OM}+b$ với $\vec a=(-4; -8; 12)$. Khi đó $P_{\max}=\vec a\cdot\vec{OI}+b+R|\vec a| = 26 + 8 \sqrt{14}$ ⇒ đúng.
D) Đúng. Vì $P$ tuyến tính theo $M$ trên mặt cầu (compact) nên đạt cả max và min; min $=\vec a\cdot\vec{OI}+b-R|\vec a|$.
63% trả lời đúng
534 đúng · 307 sai