Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết rằng $f'(x) = (x^2 + 1)(x - 3)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A
$\mathbb{R}$
B
$(3; +\infty)$
✓
C
$(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$
D
$(-\infty; 3)$
LỜI GIẢI
Bước 1 — Xét dấu thừa số $x^2 + 1$.
Vì $x^2 \geq 0$ nên $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Thừa số này LUÔN dương, không đổi dấu.
Bước 2 — Dấu của $f'$ trùng dấu của $(x - 3)$.
$f'(x) = \underbrace{(x^2 + 1)}_{> 0} \cdot (x - 3)$ nên dấu của $f'(x)$ bằng dấu của $(x - 3)$:
• $f'(x) > 0 \Leftrightarrow x > 3$.
• $f'(x) < 0 \Leftrightarrow x < 3$.
Bước 3 — Kết luận chiều biến thiên.
Hàm số đồng biến trên $(3; +\infty)$ và nghịch biến trên $(-\infty; 3)$ (mỗi chiều CHỈ một khoảng vì $f'$ chỉ có một nghiệm $x = 3$).
Kết luận: Hàm số đồng biến trên $(3; +\infty)$.
81% trả lời đúng
437 đúng · 102 sai