Xét tích phân $I = \int_0^1 x e^x\,dx$ (tính bằng phương pháp tích phân từng phần). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
A)
Tích phân $\int x e^x\,dx$ tính được bằng đổi biến đơn thuần.
Sai
B)
Đặt $u = e^x, dv = x\,dx$ thì $du = e^x\,dx$, $v = \dfrac{x^2}{2}$.
Đúng
C)
Đặt $u = x$, $dv = e^x\,dx$, ta có $du = dx$, $v = e^x$.
Đúng
D)
Khi đổi biến trong tích phân xác định, phải đổi cận theo biến mới.
Đúng
LỜI GIẢI
A) Sai. Sai — không có đổi biến đơn thuần $u=u(x)$ nào biến $xe^x dx$ thành $g(u)du$ đẹp. Cần dùng từng phần theo LIATE: $u=x$ (đa thức), $dv=e^x dx$.
B) Đúng. Đạo hàm/nguyên hàm đúng: $(e^x)'=e^x$ ⇒ $du=e^x dx$; $\int x dx = x^2/2$ ⇒ $v=x^2/2$. Tính được nhưng tích phân mới sẽ phức tạp hơn.
C) Đúng. Tính $du=u'\,dx=1\,dx=dx$ và $v=\int e^x\,dx=e^x$ (có thể bỏ $+C$ tạm thời ở $v$). Đúng quy tắc đổi vi phân.
D) Đúng. Nếu đặt $u=u(x)$ thì $\int_a^b f(x)dx=\int_{u(a)}^{u(b)} f(x(u))\,(dx/du)du$ — cận trên biến mới là $u(a), u(b)$, không giữ cận cũ.
66% trả lời đúng
228 đúng · 119 sai