Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1; 5]$, có đồ thị cắt trục $Ox$ tại $x = 1$; $x = 3$. Đồ thị nằm phía trên trục $Ox$ trên $(-1; 1)$, $(1; 3)$ và nằm phía dưới trục $Ox$ trên $(3; 5)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = -1, x = 5$ được tính bởi công thức nào dưới đây?
A
$S = \left| \int_{-1}^{5} f(x)\,dx \right|$
B
$S = \int_{-1}^{5} f(x)\,dx$
C
$S = \int_{-1}^{1} f(x)\,dx + \int_{1}^{3} f(x)\,dx - \int_{3}^{5} f(x)\,dx$
✓
D
$S = \int_{-1}^{1} f(x)\,dx + \int_{1}^{3} f(x)\,dx + \int_{3}^{5} f(x)\,dx$
LỜI GIẢI
Bước 1 — Công thức diện tích.
Diện tích miền giới hạn bởi $y = f(x)$, trục $Ox$ và $x = a, x = b$ là:
$S = \int_a^b |f(x)|\,dx$.
Để bỏ trị tuyệt đối, ta tách tích phân tại các nghiệm (nơi $f$ đổi dấu) rồi xét dấu: đoạn $f \geq 0$ giữ nguyên, đoạn $f \leq 0$ đổi dấu.
Bước 2 — Xét dấu trên từng đoạn.
- Trên $[-1; 1]$: $f(x) \geq 0$ nên $\int_{-1}^{1} |f(x)|\,dx = +\int_{-1}^{1} f(x)\,dx$.
- Trên $[1; 3]$: $f(x) \geq 0$ nên $\int_{1}^{3} |f(x)|\,dx = +\int_{1}^{3} f(x)\,dx$.
- Trên $[3; 5]$: $f(x) \leq 0$ nên $\int_{3}^{5} |f(x)|\,dx = -\int_{3}^{5} f(x)\,dx$.
Kết luận: Cộng các phần lại:
$S = \int_{-1}^{1} f(x)\,dx + \int_{1}^{3} f(x)\,dx - \int_{3}^{5} f(x)\,dx$.
81% trả lời đúng
126 đúng · 30 sai