Bước 1 — Mối liên hệ giữa hai dạng phương trình mặt cầu.
Khai triển dạng chính tắc $(x - x_I)^2 = x^2 - 2x_I x + x_I^2$ (tương tự cho $y, z$) rồi gộp lại:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$
$\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d_0 = 0$, với $d_0 = a^2 + b^2 + c^2 - R^2$.
Ngược lại, từ dạng tổng quát gom bình phương để trở về chính tắc; hai dạng là TƯƠNG ĐƯƠNG (cùng tập nghiệm).
Bước 2 — Khai triển cụ thể với số đã cho.
Tâm $I(2; 4; 3)$, $R = 4$ ⇒ $R^2 = 16$.
Hệ số bậc nhất: $-2a = -4,\ -2b = -8,\ -2c = -6$.
Hằng số tự do: $d_0 = a^2 + b^2 + c^2 - R^2 = 29 - 16 = 13$.
Vậy dạng tổng quát: $x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 8y - 6z + 13 = 0$, dạng chính tắc: $(x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z - 3)^2 = 16$.
Bước 3 — Đối chiếu, loại nhiễu.
Chỉ phương trình có ĐỦ mọi hệ số khớp mới tương đương:
• Cộng $R^2$ thay vì trừ ⇒ sai hằng số tự do (quên đổi dấu $R^2$).
• Nhân hai vế không đều (nhân vế trái cho $2$ mà giữ vế phải) ⇒ sai.
• Quên cộng $a^2 + b^2 + c^2$ khi khai triển ⇒ thiếu hằng số.
• Đảo dấu hệ số bậc nhất ⇒ tâm sai dấu.
• Ở dạng chính tắc: sai dấu tâm $(x + a)^2$, hoặc để $= R$ thay vì $= R^2$ ⇒ đều SAI.
Kết luận: $(x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z - 3)^2 = 16$.