Bước 1 — Đặt ẩn và ràng buộc.
Gọi $a$, $b$ là cạnh của đáy lớn và đáy nhỏ. Tổng diện tích hai đáy: $a^2+b^2=148$.
Hai đáy là hình vuông có tâm cùng nằm trên trục. Khoảng cách từ tâm tới đỉnh của đáy lớn là $\dfrac{a\sqrt2}{2}$, của đáy nhỏ là $\dfrac{b\sqrt2}{2}$; $A$ và $C'$ ở hai phía đối nhau qua trục nên khoảng cách ngang của chúng là $\dfrac{a\sqrt2}{2}+\dfrac{b\sqrt2}{2}=\dfrac{a+b}{\sqrt2}$.
Bước 2 — Chiều cao và thể tích theo tổng cạnh.
$AC'^2=H^2+\dfrac{(a+b)^2}{2}=13^2$ ⇒ $H=\sqrt{13^2-\dfrac{(a+b)^2}{2}}$.
Đặt $u=(a+b)^2$. Khi đó $ab=\dfrac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\dfrac{u-148}{2}$, nên
$V=\dfrac H3\big(a^2+b^2+ab\big)=\dfrac{148+u}{6}\sqrt{13^2-\dfrac u2}.$
Bước 3 — Tối ưu theo $u$.
Xét $f(u)=\dfrac{S+u}{6}\sqrt{d^2-\dfrac u2}$. Giải $f'(u)=0$ được cực đại tại $u=\dfrac{4d^2-S}{3}=\dfrac{4\cdot13^2-148}{3}=176$.
Suy ra $H=\sqrt{13^2-\dfrac{176}{2}}=\dfrac{\sqrt{6\cdot148+12\cdot13^2}}{6}=\dfrac{\sqrt{2916}}{6}=9$ (thoả $a,b>0$, $a\neq b$).
Bước 4 — Giá trị lớn nhất.
$V_{\max}=\dfrac{\sqrt6}{54}\,(S+2d^2)^{3/2}=\dfrac{\sqrt6}{54}\,(486)^{3/2}\approx 486$.
Kết luận: $V_{\max}\approx 486$.