Bước 1 — Chiều cao của $A'$ so với đáy.
Chọn hệ trục $A$-gốc, $AB$ là trục $x$, $AD$ là trục $y$, $AS$ là trục $z$. Trọng tâm $G$ của $\triangle SAB$ có toạ độ trung bình của $S,A,B$. Chiếu $G$ lên $SA$ (trục $z$) theo phương $AB$ (trục $x$) tức bỏ thành phần $x$, nên $A'$ nằm trên $SA$ với $A'A=\dfrac13 SA=\dfrac{a\sqrt3}{3}$.
Bước 2 — Điều kiện góc $\widehat{EAF}=45^\circ$.
$AE$ tạo với $AB$ góc $\alpha$ với $\tan\alpha=\dfrac{x}{a}$; $AF$ tạo với $AD$ góc $\beta$ với $\tan\beta=\dfrac{y}{a}$.
Vì $\widehat{BAD}=90^\circ$ nên $\widehat{EAF}=90^\circ-\alpha-\beta=45^\circ$ ⇒ $\alpha+\beta=45^\circ$.
$\tan(\alpha+\beta)=1=\dfrac{\frac xa+\frac ya}{1-\frac{xy}{a^2}}=\dfrac{a(x+y)}{a^2-xy}$ ⇒ $a^2-xy=a(x+y)$.
Bước 3 — Diện tích $\triangle AEF$.
$S_{AEF}=S_{ABCD}-S_{ABE}-S_{ADF}-S_{ECF}$, rút gọn được $S_{AEF}=\dfrac12(a^2-xy)=\dfrac{a(x+y)}{2}$.
Bước 4 — Thể tích và hệ số $m$.
$V_{A'.AEF}=\dfrac13 S_{AEF}\cdot A'A=\dfrac13\cdot\dfrac{a(x+y)}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{3}=\dfrac{a^2(x+y)\sqrt3}{18}$ ⇒ $m=18$.
Kết luận: $m=18$.