Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$. Biết $SO\perp(ABCD)$, $SO=\sqrt{5}$ và đường tròn ngoại tiếp $ABCD$ có bán kính bằng $1$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $SB$. Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng $\sqrt{\dfrac{m}{n}}$ (trong đó $m,n$ là hai số nguyên dương và $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản). Giá trị $m-n$ bằng bao nhiêu?
ĐÁP ÁN
-
6
LỜI GIẢI
Bước 1 — Chọn hệ toạ độ.
Đặt $O$ làm gốc, hai đường chéo đáy dọc theo $Ox,Oy$. Vì bán kính ngoại tiếp bằng $1$ nên $OA=OB=OC=OD=1$:
$A(1;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(-1;0;0)$, $D(0;-1;0)$, $S(0;0;\sqrt{5})$.
Bước 2 — Trung điểm và phương trình mặt phẳng $(SCD)$.
$M$ là trung điểm $SB$: $M\!\left(0;\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)$.
Mặt phẳng $(SCD)$ qua $C(-1;0;0)$, $D(0;-1;0)$, $S(0;0;\sqrt{5})$.
Bước 3 — Khoảng cách.
Dùng công thức tổng quát với $R=1$, $h=\sqrt{k}$:
$d(M,(SCD))=\dfrac{R\,h}{\sqrt{R^2+2h^2}}$ $\Rightarrow d^2=\dfrac{1\cdot 5}{1+2\cdot 5}=\dfrac{5}{11}$.
Kết luận: $d=\sqrt{\dfrac{5}{11}}$ nên $m=5$, $n=11$, $m-n=-6$.
63% trả lời đúng
481 đúng · 280 sai