Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), tàu $A$ ở $A(-3; -5; -6)$ chạy theo hướng $\vec{u}_A = (2; 2; 1)$ với tốc độ $24$ km/giờ; tàu $B$ ở $B(5; 0; -5)$ chạy theo hướng $\vec{u}_B = (2; 2; 1)$ với tốc độ $21$ km/giờ. Tìm thời điểm $t$ (giờ) mà khoảng cách giữa hai tàu nhỏ nhất.
ĐÁP ÁN
3
LỜI GIẢI
Bước 1 — Đổi tốc độ + hướng thành vectơ vận tốc.
$\vec{v} = (\text{tốc độ})\cdot\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}$.
$|\vec{u}_A| = 3$, $\vec{v}_A = \dfrac{24}{3}(2; 2; 1) = (16; 16; 8)$ (km/giờ).
$|\vec{u}_B| = 3$, $\vec{v}_B = \dfrac{21}{3}(2; 2; 1) = (14; 14; 7)$ (km/giờ).
Bước 2 — Vectơ nối hai tàu.
$\vec{w}_0 = B - A = (8; 5; 1)$, $\Delta\vec{v} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = (-2; -2; -1)$.
$d^2(t) = 90 + 2\cdot(-27)\,t + 9\,t^2$.
Bước 3 — Đỉnh parabol.
$t^* = -\dfrac{\vec{w}_0\cdot\Delta\vec{v}}{|\Delta\vec{v}|^2} = -\dfrac{-27}{9} = 3$ giờ.
Kết luận: Hai tàu gần nhau nhất tại $t = 3$ giờ.
58% trả lời đúng
175 đúng · 125 sai