Hai đấu thủ có trình độ ngang nhau bước vào trận chung kết của một giải cờ vây. Người giành chức vô địch là người đầu tiên thắng được $4$ ván. Tại thời điểm người thứ nhất đã thắng $3$ ván và người thứ hai thắng $1$ ván, xác suất để người thứ nhất giành chiến thắng chung cuộc là $P = \dfrac{a}{b}$ ($a, b \in \mathbb{N}^*$ và $a, b$ nguyên tố cùng nhau). Tính $6a + 8b + 1$.
ĐÁP ÁN
1
0
7
LỜI GIẢI
Bước 1 — Quy về số ván còn cần.
Mỗi ván luôn có người thắng, hai bên ngang sức nên mỗi bên thắng một ván với xác suất $\dfrac12$.
Người thứ nhất cần thắng thêm $r = 4 - 3 = 1$ ván; người thứ hai cần thắng thêm $s = 4 - 1 = 3$ ván.
Bước 2 — Người thứ nhất vô địch.
Người thứ nhất vô địch khi thắng đúng ván quyết định, trước đó người thứ hai mới thắng $k$ ván ($0 \le k \le s-1 = 2$). Số ván đã đấu thêm là $r + k$, người thứ nhất thắng ván cuối:
$P = \displaystyle\sum_{k=0}^{2} C_{r-1+k}^{k}\Big(\tfrac12\Big)^{r+k} = \dfrac{7}{8}$.
Kết luận: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{7}{8}$ tối giản nên $a = 7,\ b = 8$ ⇒ $6a + 8b + 1 = 6\cdot 7 + 8\cdot 8 + 1 = 107$.
61% trả lời đúng
167 đúng · 106 sai