Đầu năm $2024$, một người thành lập công ty. Tổng số tiền dùng để trả lương cho nhân viên trong năm $2024$ là $2$ tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền trả lương trong năm đó tăng thêm $15\%$ so với năm liền trước. Hỏi năm nào là năm đầu tiên mà tổng số tiền trả lương trong cả năm lớn hơn $4$ tỷ đồng? (Trả lời bằng năm dương lịch.)
ĐÁP ÁN
2
0
2
9
LỜI GIẢI
Bước 1 — Lập mô hình cấp số nhân.
Gọi năm $2024$ ứng với số hạng đầu $u_1 = 2$ tỷ. Mỗi năm sau nhân thêm $q = 1 + \dfrac{15}{100} = 1,15$. Tổng lương năm thứ $(k+1)$ là $u_{k+1} = 2\cdot q^{k}$.
Bước 2 — Bất phương trình mũ.
Cần $k$ nhỏ nhất để $u_{k+1} > 4$:
$$2\cdot q^{k} > 4 \Rightarrow q^{k} > 2 \Rightarrow k > \log_{1,15} 2 \approx 4,96.$$
Bước 3 — Làm tròn lên và đối chiếu.
Vì $k$ nguyên dương nên $k = 5$ (với $k = 4$ chưa vượt, $k = 5$ đã vượt $4$ tỷ).
Kết luận: Năm cần tìm $= 2024 + 5 = 2029$.
71% trả lời đúng
397 đúng · 166 sai