Một kiến trúc sư thiết kế một chiếc cửa sổ hình Norman gồm hình chữ nhật bên dưới và nửa hình tròn bên trên (đường kính nửa hình tròn bằng chiều ngang của cửa sổ). Tổng chu vi cửa sổ (viền ngoài) bằng $12$ m. Hỏi chiều ngang $x$ (m) của cửa sổ bằng bao nhiêu để diện tích cửa sổ là lớn nhất?
A
$x = \dfrac{24}{4 - \pi}\,\text{m}$
B
$x = \dfrac{24}{4 + \pi}\,\text{m}$
✓
C
$x = \dfrac{12}{4 + \pi}\,\text{m}$
D
$x = \dfrac{12}{2 + \pi}\,\text{m}$
LỜI GIẢI
Gọi $x$ (m) là chiều ngang cửa sổ ($x > 0$), $h$ (m) là chiều cao phần chữ nhật, $r = \dfrac{x}{2}$ là bán kính nửa đường tròn. Chu vi: $x + 2h + \pi r = x + 2h + \dfrac{\pi x}{2} = 12$.
⇒ $h = \dfrac{12 - x - \dfrac{\pi x}{2}}{2}$. Diện tích cửa sổ: $S(x) = xh + \dfrac{\pi r^2}{2} = xh + \dfrac{\pi x^2}{8} = \dfrac{12 x}{2} - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{\pi x^2}{8}$.
$S'(x) = \dfrac{12}{2} - x - \dfrac{\pi x}{4} = 0 \Leftrightarrow x\!\left(1 + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{12}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{24}{4 + \pi}$.
$S''(x) = -1 - \dfrac{\pi}{4} < 0$ ⇒ $x = \dfrac{24}{4 + \pi}$ m cho $S$ đạt giá trị lớn nhất.
61% trả lời đúng
273 đúng · 177 sai