Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $P(0; 0; 4)$ và $Q(12; 0; 1)$ cùng nằm về một phía của mặt phẳng $(Oxy)$. Điểm $X$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng $PX + XQ$.
ĐÁP ÁN
1
3
LỜI GIẢI
Bước 1 — Lấy ảnh đối xứng.
Gọi $P'$ là ảnh đối xứng của $P$ qua mặt phẳng $(Oxy)$: $P'(0; 0; -4)$ (giữ $x, y$, đổi dấu $z$). Với mọi $X\in(Oxy)$ thì $PX = P'X$.
Bước 2 — Bất đẳng thức tam giác.
$PX + XQ = P'X + XQ \ge P'Q$, dấu bằng đạt khi $X$ thuộc đoạn $P'Q$. Do $P, Q$ ở cùng phía nên đoạn $P'Q$ cắt $(Oxy)$, đẳng thức xảy ra.
Bước 3 — Tính $P'Q$.
$P'Q = \sqrt{(12-0)^2 + 0^2 + (1+ 4)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13$.
Kết luận: $\min(PX+XQ) = 13$ m.
66% trả lời đúng
498 đúng · 257 sai