Trong không gian $Oxyz$, điểm $M$ chuyển động trên một elip nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$, có hai tiêu điểm $A(4;0;0)$, $B(-4;0;0)$ và $MA + MB = 10$. Cho điểm $C(0;0;12)$. Tính khoảng cách LỚN NHẤT từ $C$ đến $M$.
ĐÁP ÁN
1
3
LỜI GIẢI
Bước 1 — Xác định elip.
Hai tiêu điểm cách tâm $c = 4$ và $MA + MB = 10 = 2a \Rightarrow a = 5$. Suy ra $b^2 = a^2 - c^2 = 5^2 - 4^2 = 9 \Rightarrow b = 3$.
Bước 2 — Tham số hóa và lập bình phương khoảng cách.
Đặt $M(5\cos t; 3\sin t; 0)$. Khi đó
$CM^2 = 5^2\cos^2 t + 3^2\sin^2 t + 12^2 = 9 + 144 + (25 - 9)\cos^2 t$.
Bước 3 — Tìm cực đại.
Vì $a > b$ nên hệ số $(25 - 9) > 0$; $CM^2$ lớn nhất khi $\cos^2 t = 1$ (tại đỉnh trục LỚN). Khi đó $CM_{\max} = \sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
Kết luận: Khoảng cách lớn nhất $= 13$.
64% trả lời đúng
450 đúng · 255 sai