Bước 1 — Đặt điểm và viết điều kiện.
Gọi $M(x; y; z)$. Điều kiện $MA = \dfrac{1}{2}\,MB$ với hệ số khác $1$, bình phương hai vế: $MA^2 = \dfrac{1}{4}\,MB^2$, tức
$(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 + (z - z_A)^2 = \dfrac{1}{4}\big[(x - x_B)^2 + (y - y_B)^2 + (z - z_B)^2\big]$.
Bước 2 — Khai triển hai vế.
Chuyển tất cả về một vế. KHÁC với trường hợp $k = 1$, hệ số $x^2, y^2, z^2$ KHÔNG triệt tiêu mà còn lại $(1 - k^2) = \dfrac{3}{4}$:
$\dfrac{3}{4}\,(x^2 + y^2 + z^2) + (\ldots)x + (\ldots)y + (\ldots)z + (\ldots) = 0$.
Bước 3 — Chia cho $(1 - k^2)$ về dạng chính tắc.
Chia hai vế cho $1 - k^2 = \dfrac{3}{4}$ đưa hệ số $x^2$ về $1$:
$x^2 + y^2 + z^2 - 12x + 6y + 10z + 38 = 0$.
So với $x^2+y^2+z^2 - 2ax - 2by - 2cz + (a^2+b^2+c^2 - R^2) = 0$, tâm $I(6; -3; -5)$, $R^2 = 32 > 0$ nên đây THỰC SỰ là mặt cầu.
Kết luận. Tập hợp điểm $M$ là MẶT CẦU (mặt cầu Apollonius) tâm $I(6; -3; -5)$, $R = 4 \sqrt{2}$:
$x^2 + y^2 + z^2 - 12x + 6y + 10z + 38 = 0$.