Đảo điều kiện 3 cực trị của hàm trùng phương → đếm số nguyên $m$.

Bước 1 — Tính đạo hàm.
$y' = 4x^3 - 4(m - 2)x = 4x\big(x^2 - (m - 2)\big)$.
$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x^2 = (m - 2)$.

Bước 2 — Điều kiện có ba điểm cực trị.
Hàm trùng phương hệ số $x^4$ là $1 > 0$: hàm có $3$ điểm cực trị $\Leftrightarrow$ phương trình $x^2 = (m - 2)$ có $2$ nghiệm khác $0$ $\Leftrightarrow (m - 2) > 0 \Leftrightarrow m > 2$.

Bước 3 — Đếm số nguyên $m$.
$m$ nguyên, $m > 2$ và $m \in [-3; 7]$ ⇒ $m \in \{3, 4, \ldots, 7\}$ (các giá trị $m \le 2$ bị loại) ⇒ có $7 - (2) = 5$ giá trị.

Kết luận: Có $5$ giá trị nguyên của $m$.