Bước 1 — Đạo hàm và điều kiện có khoảng nghịch biến.
$y' = 3x^2 - 18x + 3m = 3(x^2 - 6x + m)$.
Hàm bậc 3 (hệ số đầu $> 0$) có khoảng nghịch biến ⇔ $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt ⇔ $\Delta' = 9 - m > 0 \Leftrightarrow m < 9$.
Bước 2 — Độ dài khoảng nghịch biến.
Hai nghiệm $x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9 - m}$. Khoảng nghịch biến là $(x_1; x_2)$, độ dài $= x_2 - x_1 = 2\sqrt{9 - m}$.
Bước 3 — Dịch điều kiện độ dài thành bất phương trình theo $m$.
$2\sqrt{9 - m} \leq 2 \Leftrightarrow 9 - m \leq \dfrac{2^2}{4} \Leftrightarrow m \geq 9 - \dfrac{2^2}{4}$.
Bước 4 — Giao hai điều kiện và đếm số nguyên.
Kết hợp hai điều kiện: $9 - \dfrac{2^2}{4} \leq m < 9$, tức $8 \leq m \leq 8$.
Các giá trị nguyên của $m$ chạy từ $8$ đến $8$, có $\boxed{1}$ giá trị.
Kết luận: Có $1$ giá trị nguyên của $m$.