Cho số phức $z = 1 + 4i$. Biết phương trình bậc hai hệ số thực, hệ số dẫn đầu bằng $1$, nhận $z$ làm nghiệm (và do đó còn một nghiệm phức nữa). Phương trình bậc hai đó là phương trình nào?
A
$x^2 - 2x - 15 = 0$
B
$x^2 - 2x + 17 = 0$
✓
C
$x^2 + 2x + 17 = 0$
D
$x^2 - 2x - 17 = 0$
LỜI GIẢI
Bước 1 — Nghiệm liên hợp.
Phương trình bậc hai có hệ số THỰC: nếu nhận nghiệm phức $z = p + qi$ ($q \neq 0$) thì BẮT BUỘC nhận thêm nghiệm liên hợp $\bar z = p - qi$.
Ở đây $p = 1$, $q = 4$ ⇒ hai nghiệm $x_1 = 1 + 4i$, $x_2 = 1 - 4i$.
Bước 2 — Vi-ét ngược (lập tổng và tích nghiệm).
$x_1 + x_2 = 2p = 2$ ⇒ hệ số $b = -(x_1 + x_2) = -2$.
$x_1 \cdot x_2 = (p + qi)(p - qi) = p^2 + q^2 = 1 + 16 = 17$ ⇒ hệ số tự do $c = 17$.
Bước 3 — Viết phương trình.
PT monic có dạng $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0$, tức $x^2 - 2x + 17 = 0$.
Bước 4 — Kiểm tra biệt thức.
$\Delta = b^2 - 4c = (-2)^2 - 4 \cdot 17 = 4 - 68 = -64 = -4q^2 < 0$, khớp với việc phương trình có nghiệm phức (không có nghiệm thực).
Kết luận: $x^2 - 2x + 17 = 0$.
72% trả lời đúng
311 đúng · 121 sai