Bước 1 — Tham số hoá $M$ và công thức khoảng cách.
Vì $M \in Oz$ nên $M(0; 0; z)$.
$d(M, (P)) = \dfrac{|A_1\cdot 0 + B_1\cdot 0 + C_1 z + D_1|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}} = \dfrac{|z + 4|}{|\vec n_1|}$, tương tự cho $(Q)$.
Bước 2 — Hai pháp tuyến cùng độ dài nên khử được mẫu.
$\vec n_1 = (2; 2; 1)$, $\vec n_2 = (2; 1; 2)$ đều có $|\vec n_1| = |\vec n_2| = \sqrt{9} = 3$.
Do hai mẫu bằng nhau, điều kiện $d(M,(P)) = d(M,(Q))$ $\Leftrightarrow |z + 4| = |2z + 6|$.
Bước 3 — Mở trị tuyệt đối thành hai trường hợp.
$\bullet$ TH1: $z + 4 = 2z + 6$ $\Leftrightarrow -z = 2 \Leftrightarrow z = -2$.
$\bullet$ TH2: $z + 4 = -(2z + 6)$ $\Leftrightarrow 3z = -10 \Leftrightarrow z = -\dfrac{10}{3}$.
Chỉ $TH1$ cho nghiệm $z$ NGUYÊN (toạ độ điểm đẹp); $TH2$ cho $z$ không nguyên nên loại.
Kết luận: $M(0; 0; -2)$.