Bước 1 — Điều kiện có hai nghiệm phức.
Phương trình $x^2 + bx + m = 0$ hệ số thực có hai nghiệm phức (không thực) khi $\Delta = b^2 - 4m < 0$. Khi đó hai nghiệm là hai số phức liên hợp $z_1 = \overline{z_2}$.
Bước 2 — Liên hệ mô-đun với tích nghiệm (Vi-ét).
Vì $z_2 = \overline{z_1}$ nên $z_1 z_2 = z_1 \overline{z_1} = |z_1|^2$. Mặt khác theo Vi-ét, tích hai nghiệm $= \dfrac{m}{1} = m$.
Do đó $|z_1|^2 = |z_2|^2 = z_1 z_2 = m$.
Bước 3 — Áp điều kiện $|z_1| = 2$.
$|z_1|^2 = 2^2 = 4$, mà $|z_1|^2 = m$, suy ra $m = 4$.
Bước 4 — Kiểm tra điều kiện $\Delta < 0$.
Với $m = 4$: $\Delta = b^2 - 4m = (1)^2 - 4 \cdot 4 = 1 - 16 = -15 < 0$ ⇒ phương trình thực sự có hai nghiệm phức liên hợp (thoả điều kiện). Vậy $m = 4$ là giá trị duy nhất.
Kết luận: $m = 4$.