Một đường dây cáp điện cần nối từ trạm phát $A$ (cách con đường thẳng một đoạn $h_1 = 12$ km) tới điểm $B$ nằm trên bờ, biết hình chiếu vuông góc $A'$ của $A$ xuống bờ cách $B$ một đoạn $L = 11$ km. Người ta đặt một đoạn thẳng từ $A$ tới điểm $P$ trên bờ (chi phí $13$ tỉ đồng/km) rồi đặt tiếp dọc bờ từ $P$ tới $B$ (chi phí $5$ tỉ đồng/km). Tìm độ dài đoạn $AP$ (km) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.
ĐÁP ÁN
1
3
LỜI GIẢI
Gọi $x = A'P$ là khoảng cách từ chân $A'$ đến $P$ ($0 \le x \le 11$). Khi đó $AP = \sqrt{x^2 + 12^2}$ và đoạn dọc bờ $PB = 11 - x$. Tổng chi phí: $T(x) = 13\sqrt{x^2 + 144} + 5(11 - x)$.
$T'(x) = \dfrac{13\,x}{\sqrt{x^2 + 144}} - 5$. Cho $T'(x) = 0$ ta được $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 144}} = \dfrac{5}{13}$ (đúng dạng định luật khúc xạ Snell).
Bình phương: $169\,x^2 = 25(x^2 + 144) \Rightarrow 144x^2 = 3600 \Rightarrow x = 5$ km (vì $\sqrt{169 - 25} = 12$).
Suy ra $AP = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ km. Vì $T''(x) > 0$ nên đây là điểm cực tiểu. Kết luận: $AP = 13$ km.
60% trả lời đúng
373 đúng · 247 sai