Dãy hình vuông lồng nhau: $C_1$ có cạnh $1$; với mỗi $n$, hình $C_{n+1}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình $C_n$. Gọi $S_{10}$ là tổng diện tích của $10$ hình vuông đầu tiên $C_1, C_2, \ldots, C_{10}$. Tính $512 \cdot S_{10}$.
ĐÁP ÁN
1
0
2
3
LỜI GIẢI
Bước 1 — Quy luật diện tích.
Nối trung điểm 4 cạnh, hình vuông sau có cạnh bằng $\dfrac{1}{\sqrt2}$ cạnh hình trước, nên diện tích bằng $\left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^2 = \dfrac{1}{2}$ lần. Vậy các diện tích lập thành CSN với công bội $q = \dfrac{1}{2}$.
Bước 2 — Số hạng đầu.
Diện tích hình đầu $S_1 = 1^2 = 1$.
Bước 3 — Tổng $10$ số hạng đầu của CSN.
$S_{10} = S_1 \cdot \dfrac{1 - q^{10}}{1 - q} = 1 \cdot \dfrac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{1 - \frac{1}{2}} = 1 \cdot \dfrac{2^{10} - 1}{2^{9}}$.
Bước 4 — Khử mẫu.
$512 \cdot S_{10} = 2^{9} \cdot 1 \cdot \dfrac{2^{10} - 1}{2^{9}} = 1 \cdot (2^{10} - 1) = 1023$.
Kết luận: $512 \cdot S_{10} = 1023$.
74% trả lời đúng
441 đúng · 157 sai