Dãy hình vuông lồng nhau: $C_1$ có cạnh $2$; với mỗi $n$, hình $C_{n+1}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình $C_n$. Gọi $S_{9}$ là tổng diện tích của $9$ hình vuông đầu tiên $C_1, C_2, \ldots, C_{9}$. Tính $256 \cdot S_{9}$.
ĐÁP ÁN
2
0
4
4
LỜI GIẢI
Bước 1 — Quy luật diện tích.
Nối trung điểm 4 cạnh, hình vuông sau có cạnh bằng $\dfrac{1}{\sqrt2}$ cạnh hình trước, nên diện tích bằng $\left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^2 = \dfrac{1}{2}$ lần. Vậy các diện tích lập thành CSN với công bội $q = \dfrac{1}{2}$.
Bước 2 — Số hạng đầu.
Diện tích hình đầu $S_1 = 2^2 = 4$.
Bước 3 — Tổng $9$ số hạng đầu của CSN.
$S_{9} = S_1 \cdot \dfrac{1 - q^{9}}{1 - q} = 4 \cdot \dfrac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{9}}{1 - \frac{1}{2}} = 4 \cdot \dfrac{2^{9} - 1}{2^{8}}$.
Bước 4 — Khử mẫu.
$256 \cdot S_{9} = 2^{8} \cdot 4 \cdot \dfrac{2^{9} - 1}{2^{8}} = 4 \cdot (2^{9} - 1) = 2044$.
Kết luận: $256 \cdot S_{9} = 2044$.
64% trả lời đúng
114 đúng · 64 sai