Đếm S = số cách xếp 3 loại phần tử (cùng loại PHÂN BIỆT) thành hàng sao

Bước 1 — Tách bài toán.
Vì các phần tử trong cùng một loại là phân biệt nên
$$S = (\text{số dãy NHÃN loại không hai nhãn giống nhau liền kề})\times 3!\times 4!\times 5!.$$

Bước 2 — Đếm số dãy nhãn bằng công thức gộp khối (bù trừ).
Chia mỗi loại thành các *khối* liền nhau rồi xếp các khối sao cho hai khối kề nhau khác loại:
$$N=\sum_{i,j,k\ge 1}(-1)^{(a-i)+(b-j)+(c-k)}\binom{a-1}{i-1}\binom{b-1}{j-1}\binom{c-1}{k-1}\frac{(i+j+k)!}{i!\,j!\,k!}.$$
Với $(a,b,c)=(3,4,5)$ ta được $N=588$.

Bước 3 — Nhân hoán vị nội bộ mỗi loại.
$S = 588\times 3!\times 4!\times 5! = 588\times 6\times 24\times 120 = 10160640.$

Bước 4 — Tính tổng các chữ số.
Tổng các chữ số của $S=10160640$ là $18$.

Kết luận: $18$.