Một hình tròn được chia thành $5$ phần: $1$ phần tâm $O$ ở giữa và $4$ phần $A_1, A_2, \dots, A_{4}$ xếp quanh vành. Tâm $O$ kề (chung biên) với cả $4$ phần ngoài; các phần ngoài kề nhau theo vòng ($A_1$ kề $A_2$, $A_2$ kề $A_3$, …, $A_{4}$ kề $A_1$). Dùng $4$ màu để tô tất cả $5$ phần sao cho hai phần kề nhau được tô khác màu. Hỏi có bao nhiêu cách tô?
ĐÁP ÁN
7
2
LỜI GIẢI
Bước 1 — Tô phần tâm $O$.
Phần tâm có thể nhận bất kỳ màu nào trong $4$ màu, nên có $4$ cách chọn màu cho $O$.
Bước 2 — Quy về tô chu trình cho các phần ngoài.
Khi $O$ đã cố định màu, mỗi phần ngoài phải khác màu $O$ nên chỉ còn $q = 4 - 1 = 3$ màu được phép dùng. Ngoài ra các phần ngoài kề nhau theo vòng nên đây là bài tô $4$ đỉnh của một chu trình bằng $3$ màu (hai đỉnh kề khác màu).
Bước 3 — Công thức số cách tô chu trình $C_t$ bằng $q$ màu.
$(q-1)^t + (-1)^t (q-1) = (3-1)^{4} + (-1)^{4}\cdot(3-1) = 2^{4} + 1\cdot2 = 18$ cách.
Bước 4 — Quy tắc nhân.
Số cách tô toàn bộ $= 4\times 18 = 72$.
Kết luận: có $72$ cách tô. Đáp số: $72$.
72% trả lời đúng
639 đúng · 250 sai