Đặt $N = \overline{a_1 a_2 a_3 a_4 b_1 b_2 b_3 b_4}$ với $\{a_1, \ldots, b_4\} = \{1, 2, \ldots, 8\}$ (đôi một khác nhau). Tổng các chữ số $1 + 2 + \cdots + 8 = 36 \, \vdots \, 9$, do đó $N \, \vdots \, 9$.
Vì $\gcd(9; 1111) = 1$ nên $N \, \vdots \, 1111$ kéo theo $N \, \vdots \, 9999$ (do $9999 = 9 \cdot 1111$).
Đặt $x = \overline{a_1 a_2 a_3 a_4}$, $y = \overline{b_1 b_2 b_3 b_4}$. Khi đó $N = 10000x + y = 9999x + (x + y)$, suy ra $(x + y) \, \vdots \, 9999$. Vì $1 \le x, y \le 9999$ và $x + y \le 19998$, ta có $x + y = 9999$.
$x + y = 9999$ tương đương $a_1 + b_1 = a_2 + b_2 = a_3 + b_3 = a_4 + b_4 = 9$. Bốn cặp chữ số trong $\{1, \ldots, 8\}$ có tổng bằng $9$ là $(1; 8), (2; 7), (3; 6), (4; 5)$.
Sắp xếp $4$ cặp vào $4$ vị trí có $4!$ cách; mỗi cặp $(a_i; b_i)$ có $2$ cách hoán đổi vị trí giữa $a_i$ và $b_i$. Tổng số *số đặc biệt* là $4! \cdot 2^4 = 24 \cdot 16 = 384$.