Bước 1 — Tính đạo hàm hàm hợp.
Đặt $u(x) = x^2 - 2x$, ta có $g(x) = f(u(x))$ nên
$$g'(x) = u'(x)\cdot f'(u(x)) = (2x - 2)\,f'(x^2 - 2x).$$
Bước 2 — Giải $g'(x) = 0$.
$g'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x - 2 = 0$ hoặc $f'(x^2 - 2x) = 0$.
• $2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$.
• Đọc đồ thị: $f'(s) = 0 \Leftrightarrow s = 1$ hoặc $s = 3$, nên $f'(x^2 - 2x) = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x = 1$ hoặc $x^2 - 2x = 3$.
Bước 3 — Số nghiệm của $x^2 - 2x = t$.
Xét $h(x) = x^2 - 2x$ có $h'(x) = 2x - 2 = 0$ tại $x = 1$ và giá trị nhỏ nhất $\min h = h(1) = -1$. Phương trình $x^2 - 2x = t$ tức $x^2 - 2x - t = 0$ có $\Delta' = 1 + t$:
• $t > -1$: hai nghiệm phân biệt (đều khác $1$);
• $t = -1$: nghiệm kép $x = 1$ (trùng nghiệm của $u'=0$);
• $t < -1$: vô nghiệm.
⇒ $x^2 - 2x = t_1 = 1$: hai nghiệm phân biệt.
⇒ $x^2 - 2x = t_2 = 3$: hai nghiệm phân biệt.
Bước 4 — Loại nghiệm trùng và đếm điểm đổi dấu.
Tại $x = 1$, nếu một trong các phương trình $x^2 - 2x = t_i$ cho nghiệm kép $x = 1$ ($t_i = -1$) thì $x = 1$ là nghiệm bội chẵn của phương trình đó cộng thêm nghiệm đơn từ $u'=0$ — vẫn chỉ tạo một lần đổi dấu của $g'$. Các nghiệm còn lại (do $f'$ có nghiệm đơn) đều làm $g'$ đổi dấu. Tổng số điểm cực trị: $g'$ đổi dấu tại $5$ điểm phân biệt.
Kết luận: Hàm số $g(x)$ có $5$ điểm cực trị.