Bước 1 — Đạo hàm hàm hợp.
Đặt $u = \dfrac{x^2+1}{x} = x + \dfrac{1}{x}$. $g(x) = f(u)$ ⇒ $g'(x) = u'(x)\cdot f'(u(x))$, với $u'(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2-1}{x^2}$.
$g'(x) = 0 \Leftrightarrow u'(x) = 0$ hoặc $f'(u(x)) = 0$.
Bước 2 — Xét $u'(x) = 0$ và tập giá trị của $u$.
$u'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$, với $u(1) = 2$, $u(-1) = -2$. Khảo sát $u$ cho tập giá trị $(-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$. Vì $f'(\pm 2) \ne 0$ (do $\pm 2$ không là nghiệm của $f'$), hai điểm $x = \pm 1$ đều là điểm cực trị ⇒ $2$ điểm.
Bước 3 — Xét $f'(u) = 0$, tức $u = t_i$ với $t_i \in \{-4, -3, -1, 3\}$ là các nghiệm của $f'$.
Phương trình $u(x) = t_i \Leftrightarrow x^2 - t_i x + 1 = 0$ có nghiệm thực $\Leftrightarrow |t_i| \ge 2$ (và $2$ nghiệm phân biệt khi $|t_i| > 2$).
• $t_i$ thoả $|t_i| > 2$: $-4, -3, 3$ ⇒ mỗi giá trị cho $2$ nghiệm $x$ ⇒ $6$ điểm cực trị.
• $t_i$ có $|t_i| \le 2$: $-1$ ⇒ $u(x) = t_i$ vô nghiệm (ngoài tập giá trị) ⇒ $0$ điểm.
Kết luận: Số điểm cực trị $= 2 + 6 = 8$.