Đếm số điểm nguyên (đỉnh lưới) NẰM TRÊN mặt cầu $(S)$.

Bước 1 — Đổi biến đưa về gốc toạ độ.
Đặt $u = x - 3,\; v = y - 3,\; w = z - 2$. Vì $a=3,\,b=3,\,c=2$ là các số nguyên nên một điểm $(x;y;z)$ có ba toạ độ nguyên khi và chỉ khi $(u;v;w)$ nguyên. Bài toán quy về đếm số nghiệm nguyên của
$u^2 + v^2 + w^2 = 3$.
Số điểm nguyên trên $(S)$ KHÔNG phụ thuộc tâm, chỉ phụ thuộc $R^2$.

Bước 2 — Liệt kê các 'kiểu' bộ trị tuyệt đối.
Tìm mọi bộ $\{|u|,|v|,|w|\}$ (không kể thứ tự) có tổng bình phương $= 3$, với mỗi kiểu đếm: (số hoán vị vị trí) $\times$ ($2^{\text{số toạ độ khác }0}$ cách gán dấu).
kiểu $\{1,1,1\}$ cho $8$ điểm.

Bước 3 — Cộng lại.
Tổng số nghiệm nguyên $= 8$. Vậy có $ 8 $ điểm nguyên nằm trên $(S)$.

Kết luận: Số điểm nguyên $= 8$.