Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): (x - 5)^2 + (y - 6)^2 + (z - 3)^2 = 5$. Hỏi có bao nhiêu điểm có cả ba toạ độ đều là số nguyên nằm trên $(S)$?
ĐÁP ÁN
2
4
LỜI GIẢI
Bước 1 — Đổi biến đưa về gốc toạ độ.
Đặt $u = x - 5,\; v = y - 6,\; w = z - 3$. Vì $a=5,\,b=6,\,c=3$ là các số nguyên nên một điểm $(x;y;z)$ có ba toạ độ nguyên khi và chỉ khi $(u;v;w)$ nguyên. Bài toán quy về đếm số nghiệm nguyên của
$u^2 + v^2 + w^2 = 5$.
Số điểm nguyên trên $(S)$ KHÔNG phụ thuộc tâm, chỉ phụ thuộc $R^2$.
Bước 2 — Liệt kê các 'kiểu' bộ trị tuyệt đối.
Tìm mọi bộ $\{|u|,|v|,|w|\}$ (không kể thứ tự) có tổng bình phương $= 5$, với mỗi kiểu đếm: (số hoán vị vị trí) $\times$ ($2^{\text{số toạ độ khác }0}$ cách gán dấu).
kiểu $\{0,1,2\}$ cho $24$ điểm.
Bước 3 — Cộng lại.
Tổng số nghiệm nguyên $= 24$. Vậy có $ 24 $ điểm nguyên nằm trên $(S)$.
Kết luận: Số điểm nguyên $= 24$.
59% trả lời đúng
110 đúng · 77 sai