Bước 1 — Tách phân thức để cô lập phần phụ thuộc $n$.
Không thể thử từng số. Viết tử theo mẫu:
$mn + c = m(n + 1) + (c - m)$, do đó
$u_n = \dfrac{m(n+1) + (c - m)}{n + 1} = m + \dfrac{c - m}{n + 1}$.
Phần $m$ là hằng; tính đơn điệu chỉ do số hạng $\dfrac{c - m}{n + 1}$ quyết định.
Bước 2 — Xét hiệu hai số hạng liên tiếp.
$u_{n+1} - u_n = (c - m)\Big(\dfrac{1}{(n+1)+1} - \dfrac{1}{n+1}\Big) = (c - m)\Big(\dfrac{1}{n+2} - \dfrac{1}{n+1}\Big)$.
$\dfrac{1}{n+2} - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{(n+1) - (n+2)}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{-1}{(n+1)(n+2)} < 0$ với mọi $n \geq 1$.
Bước 3 — Suy dấu của hiệu theo tham số.
Vì thừa số $\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)} < 0$ KHÔNG đổi dấu, nên
$\operatorname{dấu}(u_{n+1} - u_n) = -\operatorname{dấu}(c - m)$.
• Dãy GIẢM $\Leftrightarrow u_{n+1} - u_n < 0 \Leftrightarrow c - m > 0 \Leftrightarrow m < c$.
• Dãy TĂNG $\Leftrightarrow m > c$. (Nếu $m = c$ thì $u_n = m$ là dãy hằng — KHÔNG đơn điệu thực sự.)
Bước 4 — Biện luận và đếm với $c = 1$, dãy giảm.
Điều kiện: $m < c$, tức $m < 1$.
Các số nguyên $m \in [-4; 4]$ thỏa mãn: $-4, -3, -2, -1, 0$.
Lưu ý không lấy dấu bằng (loại $m = 1$ vì khi đó dãy hằng).
Kết luận: có $\boxed{5}$ giá trị nguyên của $m$.