Bước 1 — Rút một ẩn, lập điều kiện chia hết.
Từ $7x + 5y = 82$ ta có $y = \dfrac{c - ax}{b} = \dfrac{82 - 7x}{5}$. Để $y$ nguyên thì $(82 - 7x)$ phải chia hết cho $5$, tức $5 \mid (82 - 7x)$.
Bước 2 — Tìm một nghiệm nguyên dương riêng.
Thử các giá trị $x$ nhỏ, ta thấy $x = 1$ cho $y = \dfrac{82 - 7 \cdot 1}{5} = 15$ là số nguyên dương. Vậy $(1; 15)$ là một nghiệm nguyên dương.
Bước 3 — Tham số hoá mọi nghiệm nguyên.
Vì $\gcd(7, 5) = 1$, mọi nghiệm nguyên có dạng $x = 1 + 5t,\; y = 15 - 7t$ với $t \in \mathbb{Z}$ (tăng $x$ thêm $5$ thì $y$ giảm đi $7$ để giữ vế trái không đổi).
Bước 4 — Chặn để $x, y$ đều dương rồi đếm.
Điều kiện $x \ge 1$ cho $t \ge 0$; điều kiện $y \ge 1$ cho $15 - 7t \ge 1 \Leftrightarrow t \le 2$. Vậy $t \in \{0, 1, \dots, 2\}$, gồm $3$ giá trị.
Các nghiệm nguyên dương là: $(1; 15), (6; 8), (11; 1)$.
Kết luận: phương trình có $3$ nghiệm nguyên dương.