Đặt $g(x) = x^4 - 6x^2 + m$ và $h(x) = f(g(x))$. Ta có $h'(x) = g'(x) \cdot f'(g(x))$, với $g'(x) = 4x^3 - 12x = 2x\!\left(2x^2 - 6\right)$.
$g'(x) = 0$ tại $x = 0$ và $x = \pm\sqrt{3}$ (3 nghiệm đơn, mỗi nghiệm đổi dấu của $g'$). $f'(t) = t(t + 8) = 0$ tại $t = 0$ và $t = -8$.
Do đó $h'(x) = 0$ tại nghiệm của $g'(x) = 0$ (3 điểm) và nghiệm của $g(x) = 0$, $g(x) = -8$. Tính $g(0) = m$, $g\!\left(\pm\sqrt{3}\right) = m - \dfrac{6^2}{4} = m - 9$.
Để cả $3$ nghiệm của $g'$ đều là điểm cực trị (không bị triệt bởi $f'(g(x))=0$ trùng), cần $m \notin \{0, -8\}$ và $m - 9 \notin \{0, -8\}$, tức $m \notin \{0, -8, 9, 1\}$.
Đặt $t = x^2 \ge 0$. $g(x) = 0 \Leftrightarrow t^2 - 6t + m = 0$, có $t = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 4m}}{2}$. Khi $m < 0$, $\sqrt{36 - 4m} > 6$ nên chỉ có một nghiệm $t > 0$ → $g(x)=0$ có $2$ nghiệm thực.
$g(x) = -8 \Leftrightarrow t^2 - 6t + (m + 8) = 0$. Để có $2$ nghiệm $t > 0$ phân biệt, cần $0 < 36 - 4(m + 8) < 36$ và $m + 8 > 0$, tức $-8 < m < 1$. Khi đó $g(x) = -8$ có $4$ nghiệm thực.
Tổng điểm cực trị $= 3 + 2 + 4 = 9$. Kết hợp điều kiện: $-8 < m < 0$ (và loại các giá trị làm trùng nghiệm — không có giá trị nguyên nào bị loại trong khoảng này). Số $m$ nguyên thoả mãn: $m \in \{-7, -6, \ldots, -1\}$ → có $7$ giá trị.