Đếm trực tiếp S = số CẤU HÌNH xếp 3 loại phần tử (cùng loại GIỐNG NHAU)

Bước 1 — Mô hình hoá.
Kí hiệu loại xanh là $A$, loại đỏ là $B$, loại vàng là $C$. Cần đếm số dãy độ dài $12$ gồm $3$ chữ $A$, $3$ chữ $B$, $6$ chữ $C$ sao cho không có hai chữ giống nhau đứng liền kề.

Bước 2 — Công thức gộp khối (bù trừ).
$$S=\sum_{i,j,k\ge 1}(-1)^{(a-i)+(b-j)+(c-k)}\binom{a-1}{i-1}\binom{b-1}{j-1}\binom{c-1}{k-1}\frac{(i+j+k)!}{i!\,j!\,k!}.$$
Mỗi loại được chia thành các khối liền nhau (loại $a$ có $\binom{a-1}{i-1}$ cách chia thành $i$ khối), rồi xếp $i+j+k$ khối thành dãy; dấu bù trừ khử các trường hợp còn hai phần tử cùng loại dính nhau.

Bước 3 — Thay số.
Với $(a,b,c)=(3,3,6)$ ta tính được $S=100$.

Kết luận: $100$.